Toàn bộ toán học hiện đại đều được xây dựng trên nền tảng của lý thuyết tập hợp, hướng nghiên cứu về cách tổ chức các tập hợp đối tượng trừu tượng. Nhưng nhìn chung, các nhà toán học nghiên cứu không cần phải suy nghĩ về điều đó khi giải quyết vấn đề. Họ có thể mặc định rằng các tập hợp hoạt động theo cách họ mong đợi, và tiếp tục công việc của mình.
Các nhà lý thuyết tập hợp mô tả là một ngoại lệ. Cộng đồng nhỏ các nhà toán học này chưa bao giờ ngừng nghiên cứu bản chất cơ bản của các tập hợp - đặc biệt là những tập hợp vô hạn kỳ lạ mà các nhà toán học khác bỏ qua.
Lĩnh vực của họ giờ đây bớt "cô đơn" hơn rất nhiều. Năm 2023, nhà toán học Anton Bernshteyn đã công bố một kết nối sâu sắc và đáng ngạc nhiên giữa ranh giới toán học xa xôi của lý thuyết tập hợp mô tả và khoa học máy tính hiện đại.
Ông đã chứng minh rằng tất cả các bài toán về một số loại tập hợp vô hạn nhất định đều có thể được viết lại thành các bài toán về cách thức giao tiếp của mạng máy tính. Cây cầu kết nối các ngành học này đã làm các nhà nghiên cứu ở cả hai phía ngạc nhiên. Các nhà lý thuyết tập hợp sử dụng ngôn ngữ logic, các nhà khoa học máy tính sử dụng ngôn ngữ thuật toán. Lý thuyết tập hợp nghiên cứu về vô hạn, khoa học máy tính nghiên cứu về hữu hạn. Không có lý do gì để các bài toán của họ lại liên quan đến nhau, chứ đừng nói đến việc tương đương.
“Đây thực sự là điều kỳ lạ,” Václav Rozhoň nói, một nhà khoa học máy tính tại Đại học Charles ở Prague nhận định. Kể từ kết quả của Bernshteyn, các đồng nghiệp của ông đã và đang khám phá mối liên hệ giữa hai bên để chứng minh các định lý mới ở cả hai bên, và cách mở rộng cầu đó sang các lớp bài toán mới. Một số nhà lý thuyết tập hợp mô tả thậm chí còn bắt đầu áp dụng những hiểu biết sâu sắc từ lĩnh vực khoa học máy tính để sắp xếp lại toàn bộ lĩnh vực của họ và suy nghĩ lại về cách họ hiểu vô hạn.
 |
Anton Bernshteyn đã và đang khám phá, làm sáng tỏ những mối liên hệ quan trọng giữa lý thuyết tập hợp và các lĩnh vực mang tính ứng dụng cao hơn, chẳng hạn như khoa học máy tính và hệ động lực học. |
Clinton Conley, nhà lý thuyết tập hợp mô tả tại Đại học Carnegie Mellon cho biết: "Suốt thời gian qua chúng tôi đã giải quyết những vấn đề rất giống nhau mà không nói chuyện trực tiếp với nhau. Điều này mở ra cánh cửa cho tất cả những sự hợp tác mới này."
Tập hợp bị hỏng
Bernshteyn lần đầu tiên nghe đến lý thuyết tập hợp mô tả khi còn là sinh viên đại học - như một ví dụ về một lĩnh vực từng rất quan trọng, rồi lại suy tàn. Phải hơn một năm sau, ông mới nhận ra khẳng định của giáo sư đã sai.
Năm 2014, khi còn là sinh viên năm nhất sau đại học tại Đại học Illinois, Bernshteyn đã tham gia khóa học logic với Anush Tserunyan, người sau này trở thành một trong những cố vấn của ông. Bà đã sửa chữa quan niệm sai lầm đó. Ông nói: "Bà ấy thực sự khiến logic và lý thuyết tập hợp trở thành chất keo kết nối tất cả các phần khác nhau của toán học." Anush Tserunyan coi lý thuyết tập hợp mô tả là mô liên kết giữ các phần khác nhau của toán học lại với nhau.
 |
Anush Tserunyan xem lý thuyết tập hợp mô tả như mô liên kết – thứ giữ cho các phần khác nhau của toán học gắn kết với nhau. |
Lý thuyết tập hợp mô tả bắt nguồn từ Georg Cantor, người đã chứng minh vào năm 1874 rằng có nhiều kích thước vô hạn khác nhau . Ví dụ, tập hợp các số nguyên (0, 1, 2, 3,…) có cùng kích thước với tập hợp tất cả các phân số, nhưng nhỏ hơn tập hợp tất cả các số thực.
Vào thời điểm đó, các nhà toán học cảm thấy vô cùng khó chịu với mớ bòng bong vô hạn này. "Thật khó để hiểu nổi", Bernshteyn, hiện đang làm việc tại Đại học California, Los Angeles, nói.
Một phần để đáp lại sự khó chịu đó, các nhà toán học đã phát triển một khái niệm khác về kích thước - một khái niệm mô tả, chẳng hạn, độ dài, diện tích hoặc thể tích mà một tập hợp có thể chiếm giữ, thay vì số lượng phần tử mà nó chứa đựng. Khái niệm về kích thước này được gọi là "độ đo" của một tập hợp (trái ngược với khái niệm về kích thước của Cantor, vốn là "số lượng phần tử" của một tập hợp). Một trong những loại độ đo đơn giản nhất - độ đo Lebesgue - lượng hóa độ dài của một tập hợp. Mặc dù tập hợp các số thực từ 0 đến 1 và tập hợp các số thực từ 0 đến 10 đều vô hạn và có cùng số lượng phần tử, nhưng tập hợp đầu tiên có độ đo Lebesgue bằng 1 và tập hợp thứ hai có độ đo Lebesgue bằng 10.
 |
Georg Cantor đã phát hiện ra rằng vô hạn toán học có thể mang nhiều hình dạng và kích thước khác nhau. |
Để nghiên cứu các tập hợp phức tạp hơn, các nhà toán học sử dụng các loại phép đo khác. Một tập hợp càng xấu thì càng ít cách để đo lường nó. Các nhà lý thuyết tập hợp mô tả đặt ra các câu hỏi về việc tập hợp nào có thể được đo lường theo các định nghĩa khác nhau của "phép đo". Sau đó, họ sắp xếp chúng theo thứ bậc dựa trên câu trả lời cho những câu hỏi đó. Ở trên cùng là các tập hợp có thể được xây dựng dễ dàng và được nghiên cứu bằng bất kỳ khái niệm nào về phép đo mà bạn muốn. Ở dưới cùng là các tập hợp "không thể đo lường", phức tạp đến mức không thể đo lường được. Bernshteyn cho biết: "Từ mà mọi người thường dùng là "rắc rối". Các tập hợp không thể đo lường thực sự tệ. Chúng phản trực giác và chúng không hoạt động tốt."
Hệ thống phân cấp này không chỉ giúp các nhà lý thuyết tập hợp vạch ra bối cảnh lĩnh vực của họ; nó còn cung cấp cho họ cái nhìn sâu sắc về những công cụ họ có thể sử dụng để giải quyết các vấn đề điển hình hơn trong các lĩnh vực toán học khác. Các nhà toán học trong một số lĩnh vực, chẳng hạn như hệ thống động lực học, lý thuyết nhóm và lý thuyết xác suất, cần thông tin về kích thước của các tập hợp mà họ đang sử dụng. Vị trí của một tập hợp trong hệ thống phân cấp quyết định những công cụ họ có thể sử dụng để giải quyết vấn đề của mình.
Do đó, các nhà lý thuyết tập hợp mô tả giống như những thủ thư, chăm sóc một kệ sách đồ sộ chứa đầy các loại tập hợp vô hạn khác nhau (và các cách đo lường chúng khác nhau). Công việc của họ là tiếp nhận một bài toán, xác định độ phức tạp của tập hợp mà lời giải của nó yêu cầu, và đặt nó vào đúng kệ để các nhà toán học khác có thể ghi chép.
Đưa ra lựa chọn
Bernshteyn thuộc nhóm thủ thư chuyên giải quyết các bài toán về tập hợp vô hạn các nút được kết nối bởi các cạnh, gọi là đồ thị. Cụ thể, ông nghiên cứu các đồ thị có vô số phần riêng biệt, mỗi phần chứa vô số nút. Hầu hết các nhà lý thuyết đồ thị không nghiên cứu loại đồ thị này; thay vào đó, họ tập trung vào đồ thị hữu hạn. Tuy nhiên, những đồ thị vô hạn như vậy có thể biểu diễn và cung cấp thông tin về các hệ thống động lực và các loại tập hợp quan trọng khác, khiến chúng trở thành một lĩnh vực quan tâm chính của các nhà lý thuyết tập hợp mô tả.
Đây là một ví dụ về loại đồ thị vô hạn mà Bernshteyn và các cộng sự có thể nghiên cứu. Bắt đầu với một đường tròn chứa vô số điểm. Chọn một điểm: Đây sẽ là nút đầu tiên của bạn. Sau đó, di chuyển một khoảng cách cố định xung quanh chu vi đường tròn. Bạn sẽ có một nút thứ hai. Ví dụ, bạn có thể di chuyển một phần năm đường tròn. Nối hai nút bằng một cạnh. Di chuyển cùng khoảng cách đến nút thứ ba và nối nó với nút trước đó. Cứ tiếp tục như vậy.
Nếu bạn di chuyển một phần năm đường tròn mỗi lần, bạn sẽ mất năm bước để quay lại điểm xuất phát. Nhìn chung, nếu bạn di chuyển bất kỳ khoảng cách nào có thể viết dưới dạng phân số, các nút sẽ tạo thành một vòng khép kín. Nhưng nếu khoảng cách không thể viết dưới dạng phân số, quá trình này sẽ tiếp tục mãi mãi. Bạn sẽ có vô số nút được kết nối.
Nhưng đó chưa phải là tất cả: Chuỗi vô hạn này chỉ tạo thành phần đầu tiên của đồ thị. Mặc dù nó chứa vô số nút, nhưng nó không chứa tất cả các điểm trên đường tròn. Để tạo các phần khác của đồ thị, hãy bắt đầu từ một trong những điểm đó. Bây giờ, hãy di chuyển cùng một khoảng cách ở mỗi bước như bạn đã làm ở phần đầu tiên. Cuối cùng, bạn sẽ xây dựng một chuỗi vô hạn thứ hai gồm các nút được kết nối, hoàn toàn không liên quan đến phần đầu tiên.
Thực hiện điều này cho mọi điểm bắt đầu mới có thể có trên đường tròn. Bạn sẽ có được một đồ thị bao gồm vô số phần riêng biệt, mỗi phần được tạo thành từ vô số nút.
Sau đó, các nhà toán học có thể tự hỏi liệu có thể tô màu các nút trong đồ thị này sao cho chúng tuân theo một số quy tắc nhất định hay không. Ví dụ, chỉ sử dụng hai màu, liệu bạn có thể tô màu mọi nút trong đồ thị sao cho không có hai nút nào được kết nối có cùng màu không? Giải pháp có vẻ đơn giản. Hãy nhìn vào phần đầu tiên của đồ thị, chọn một nút và tô màu xanh lam cho nó. Sau đó, tô màu các nút còn lại của phần đó theo kiểu xen kẽ: vàng, xanh lam, vàng, xanh lam. Làm tương tự cho mọi phần trong đồ thị: Chọn một nút, tô màu xanh lam cho nó, sau đó xen kẽ các màu. Cuối cùng, bạn sẽ chỉ sử dụng hai màu để hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Nhưng để thực hiện phép tô màu này, bạn phải dựa vào một giả định ẩn mà các nhà lý thuyết tập hợp gọi là tiên đề lựa chọn. Đây là một trong chín nền tảng cơ bản mà mọi mệnh đề toán học được xây dựng từ đó. Theo tiên đề này, nếu bạn bắt đầu với một tập hợp, bạn có thể chọn một phần tử từ mỗi tập hợp đó để tạo ra một tập hợp mới - ngay cả khi bạn có vô số tập hợp để lựa chọn. Tiên đề này rất hữu ích, vì nó cho phép các nhà toán học chứng minh đủ loại mệnh đề quan tâm. Nhưng nó cũng dẫn đến những nghịch lý kỳ lạ. Các nhà lý thuyết tập hợp mô tả tránh điều này.
Đồ thị của bạn có vô số mảnh ghép. Điều này tương ứng với việc có vô số tập hợp. Bạn chọn một phần tử từ mỗi tập hợp - điểm đầu tiên bạn quyết định tô màu xanh lam trong mỗi mảnh ghép. Tất cả các điểm màu xanh lam đó tạo thành một tập hợp mới. Bạn đã sử dụng tiên đề lựa chọn.
Điều này dẫn đến một vấn đề khi bạn tô màu các nút còn lại theo các mẫu xen kẽ màu xanh lam và vàng. Bạn đã tô màu riêng từng nút (có độ dài bằng 0) mà không hiểu cách các nút liên quan đến nhau khi chúng đến từ các phần khác nhau của đồ thị. Điều này có nghĩa là bạn cũng không thể mô tả tập hợp tất cả các nút màu xanh lam của đồ thị, hoặc tập hợp tất cả các nút màu vàng của nó, về mặt độ dài. Nói cách khác, các tập hợp này không thể đo lường được. Các nhà toán học không thể nói bất cứ điều gì hữu ích về chúng.
Đối với các nhà lý thuyết tập hợp mô tả, điều này không thỏa đáng. Vì vậy, họ muốn tìm ra cách tô màu đồ thị một cách liên tục - một cách không sử dụng tiên đề lựa chọn, và cung cấp cho họ các tập hợp có thể đo lường được.
Để làm điều này, hãy nhớ lại cách bạn xây dựng phần đầu tiên của đồ thị: Bạn chọn một nút trên một đường tròn và nối nó với nút thứ hai ở một khoảng cách nhất định. Bây giờ, tô màu nút đầu tiên là màu xanh lam, nút thứ hai là màu vàng, và toàn bộ cung tròn giữa chúng là màu xanh lam. Tương tự, tô màu cung tròn giữa nút thứ hai và thứ ba là màu vàng. Tô màu cung tròn thứ ba là màu xanh lam. Và cứ tiếp tục như vậy.
Chẳng mấy chốc, bạn sẽ đi gần hết vòng tròn - nghĩa là bạn đã gán màu cho tất cả các nút trong biểu đồ, ngoại trừ những nút nằm trong một đoạn nhỏ còn sót lại. Giả sử cung cuối cùng bạn tô màu vàng. Vậy làm thế nào để tô màu cho đoạn cuối cùng, nhỏ hơn này? Bạn không thể dùng màu xanh lam, vì các nút này sẽ kết nối với các nút trong cung ban đầu bạn đã tô màu xanh lam. Nhưng bạn cũng không thể dùng màu vàng, vì các nút này sẽ kết nối ngược lại với các nút màu vàng từ cung trước đó.
Bạn phải sử dụng màu thứ ba - ví dụ như màu xanh lá cây - để hoàn thiện việc tô màu.
Tuy nhiên, các tập hợp các nút xanh lam, vàng và xanh lục mà bạn thu được chỉ là các phần của chu vi hình tròn, chứ không phải là các điểm phân tán mà bạn thu được khi sử dụng tiên đề lựa chọn. Bạn có thể tính độ dài của các tập hợp này. Chúng có thể đo lường được.
Do đó, các nhà lý thuyết tập hợp mô tả xếp phiên bản hai màu của bài toán vào bậc thấp nhất trong hệ thống phân cấp của họ (đối với các tập không thể đo lường), trong khi bài toán ba màu được xếp vào bậc cao hơn nhiều - những bài toán có thể áp dụng nhiều khái niệm về phép đo.
Bernshteyn đã dành những năm tháng sau đại học để nghiên cứu những bài toán tô màu như vậy, xếp chúng vào từng ô một. Rồi, ngay sau khi tốt nghiệp, ông tình cờ tìm ra một cách tiềm năng để xếp tất cả chúng cùng một lúc - và chứng minh rằng những bài toán này có cấu trúc sâu sắc và liên quan đến toán học hơn bất kỳ ai từng nhận ra.
Vòng này đến vòng khác
Thỉnh thoảng, Bernshteyn thích tham gia các buổi nói chuyện về khoa học máy tính, nơi đồ thị hữu hạn và biểu diễn mạng lưới máy tính.
Năm 2019, một trong những bài nói chuyện đó đã thay đổi hướng đi sự nghiệp của ông. Đó là về "thuật toán phân tán" - tập hợp các lệnh chạy đồng thời trên nhiều máy tính trong mạng để hoàn thành một tác vụ mà không cần bộ điều phối trung tâm.
Giả sử bạn có một loạt bộ định tuyến Wi-Fi trong một tòa nhà. Các bộ định tuyến gần nhau có thể gây nhiễu lẫn nhau nếu chúng sử dụng cùng một kênh tần số truyền thông. Vì vậy, mỗi bộ định tuyến cần chọn một kênh khác với kênh được các bộ định tuyến lân cận sử dụng.
Các nhà khoa học máy tính có thể định hình lại vấn đề này thành một bài toán tô màu trên đồ thị: Biểu diễn mỗi bộ định tuyến như một nút và kết nối các bộ định tuyến gần đó bằng các cạnh. Chỉ sử dụng hai màu (đại diện cho hai kênh tần số khác nhau), hãy tìm cách tô màu cho mỗi nút sao cho không có hai nút nào được kết nối có cùng màu.
 |
Các nhà toán học bắc cầu cho sự phân chia hữu hạn-vô hạn |
Nhưng có một vấn đề: Các nút chỉ có thể giao tiếp với các nút lân cận trực tiếp của chúng, sử dụng cái gọi là thuật toán cục bộ. Đầu tiên, mỗi nút chạy cùng một thuật toán và tự gán cho mình một màu. Sau đó, nó giao tiếp với các nút lân cận để tìm hiểu cách các nút khác được tô màu trong một vùng nhỏ xung quanh nó. Sau đó, nó chạy lại thuật toán để quyết định giữ nguyên hay đổi màu. Nó lặp lại bước này cho đến khi toàn bộ mạng có được màu sắc phù hợp.
Các nhà khoa học máy tính muốn biết một thuật toán nhất định cần bao nhiêu bước. Ví dụ, bất kỳ thuật toán cục bộ nào có thể giải quyết bài toán bộ định tuyến chỉ với hai màu chắc chắn là cực kỳ kém hiệu quả, nhưng vẫn có thể tìm ra một thuật toán cục bộ rất hiệu quả nếu được phép sử dụng ba màu.
Tại buổi nói chuyện mà Bernshteyn tham dự, diễn giả đã thảo luận về các ngưỡng này cho các loại bài toán khác nhau. Ông nhận ra rằng một trong những ngưỡng đó nghe rất giống với ngưỡng tồn tại trong thế giới lý thuyết tập hợp mô tả - về số lượng màu cần thiết để tô màu một số đồ thị vô hạn theo cách có thể đo lường được.
Với Bernshteyn, điều này không chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên. Không chỉ vì các nhà khoa học máy tính cũng giống như thủ thư, sắp xếp các bài toán dựa trên hiệu quả hoạt động của thuật toán. Không chỉ vì những bài toán này cũng có thể được viết dưới dạng đồ thị và tô màu.
Có lẽ, ông nghĩ, hai kệ sách này có nhiều điểm chung hơn thế. Có lẽ mối liên hệ giữa hai lĩnh vực này còn sâu sắc hơn nhiều.Có lẽ tất cả các cuốn sách và kệ sách đều giống hệt nhau, chỉ được viết bằng các ngôn ngữ khác nhau - và cần có người dịch.
Mở cửa
Bernshteyn muốn làm rõ mối liên hệ này. Ông muốn chứng minh rằng mọi thuật toán cục bộ hiệu quả đều có thể được chuyển đổi thành một phương pháp tô màu đồ thị vô hạn có thể đo được theo Lebesgue (thỏa mãn một số tính chất quan trọng khác). Nghĩa là, một trong những tầng quan trọng nhất của khoa học máy tính tương đương với một trong những tầng quan trọng nhất của lý thuyết tập hợp (ở cấp cao hơn trong hệ thống phân cấp).
Ông bắt đầu với lớp các vấn đề về mạng từ bài giảng khoa học máy tính, tập trung vào quy tắc bao quát của chúng - rằng thuật toán của bất kỳ nút nào cũng chỉ sử dụng thông tin về vùng lân cận cục bộ của nó, bất kể đồ thị có một nghìn hay một tỷ nút.
Để chạy đúng, tất cả những gì thuật toán phải làm là gắn nhãn cho mỗi nút trong một vùng lân cận nhất định một số duy nhất, để nó có thể ghi lại thông tin về các nút lân cận và đưa ra hướng dẫn về chúng. Điều này khá dễ thực hiện trong một đồ thị hữu hạn: Chỉ cần gán cho mỗi nút trong đồ thị một số khác nhau.
Nhà khoa học máy tính Václav Rozhoň đã tận dụng mối liên hệ mới tìm thấy giữa lý thuyết tập hợp và khoa học mạng để giải quyết các vấn đề mà ông quan tâm. Nếu Bernshteyn có thể chạy cùng một thuật toán trên một đồ thị vô hạn, điều đó có nghĩa là ông có thể tô màu đồ thị theo cách có thể đo lường được - giải quyết một bài toán tô màu đồ thị về mặt lý thuyết tập hợp. Nhưng có một vấn đề: Những đồ thị vô hạn này là vô hạn "không đếm được". Không có cách nào để dán nhãn duy nhất cho tất cả các nút của chúng.
 |
| Nhà khoa học máy tính Václav Rozhoň đã và đang tận dụng mối liên hệ mới được phát hiện giữa lý thuyết tập hợp và khoa học mạng để giải quyết những bài toán mà anh quan tâm. |
Thách thức của Bernshteyn là tìm ra cách ghi nhãn biểu đồ thông minh hơn.
Anh ấy biết mình sẽ phải sử dụng lại nhãn. Nhưng điều đó không sao cả miễn là các nút lân cận được gắn nhãn khác nhau. Có cách nào để gán nhãn mà không vô tình sử dụng lại nhãn trong cùng một vùng lân cận không?
Bernshteyn đã chứng minh rằng luôn có một cách - bất kể bạn quyết định sử dụng bao nhiêu nhãn, và bất kể khu phố của bạn có bao nhiêu nút. Điều này có nghĩa là bạn luôn có thể mở rộng thuật toán một cách an toàn từ khía cạnh khoa học máy tính sang khía cạnh lý thuyết tập hợp. "Bất kỳ thuật toán nào trong thiết lập của chúng tôi đều tương ứng với một cách đo lường được để tô màu bất kỳ đồ thị nào trong thiết lập lý thuyết tập hợp mô tả", Rozhoň nói.
Chứng minh này đã gây bất ngờ cho các nhà toán học. Nó chứng minh mối liên hệ sâu sắc giữa tính toán và khả năng định nghĩa, cũng như giữa thuật toán và các tập hợp đo lường được. Các nhà toán học hiện đang khám phá cách tận dụng khám phá của Bernshteyn. Ví dụ, trong một bài báo được công bố năm nay, Rozhoň và các đồng nghiệp đã phát hiện ra rằng có thể tô màu các đồ thị đặc biệt gọi là cây.)bằng cách xem xét cùng một vấn đề trong bối cảnh khoa học máy tính. Kết quả này cũng làm sáng tỏ những công cụ mà các nhà toán học có thể sử dụng để nghiên cứu các hệ thống động lực học tương ứng của cây. "Đây là một trải nghiệm rất thú vị, khi cố gắng chứng minh kết quả trong một lĩnh vực mà tôi thậm chí còn không hiểu những định nghĩa cơ bản", Rozhoň nói.
Các nhà toán học cũng đang nghiên cứu để chuyển đổi các bài toán theo hướng ngược lại. Trong một trường hợp, họ đã sử dụng lý thuyết tập hợp để chứng minh một ước lượng mới về mức độ khó khăn khi giải quyết một loại vấn đề nhất định.
Cầu nối của Bernshteyn không chỉ là việc có một bộ công cụ mới để giải quyết các vấn đề riêng lẻ. Nó còn cho phép các nhà lý thuyết tập hợp có cái nhìn rõ ràng hơn về lĩnh vực của họ. Có rất nhiều bài toán mà họ không biết cách phân loại. Trong nhiều trường hợp, điều đó giờ đã thay đổi, bởi vì các nhà lý thuyết tập hợp có những kệ sách được sắp xếp gọn gàng hơn của các nhà khoa học máy tính để dẫn đường.
Bernshteyn hy vọng lĩnh vực nghiên cứu đang phát triển này sẽ thay đổi cách nhìn của các nhà toán học chuyên nghiệp về công trình của các nhà lý thuyết tập hợp - rằng họ sẽ không còn coi nó là xa vời và tách biệt với thế giới toán học thực tế nữa. "Tôi đang cố gắng thay đổi điều này," ông nói. "Tôi muốn mọi người làm quen với việc suy nghĩ về vô hạn."
 |
| TS. Bùi Việt Hà hiện đang công tác tại Trung tâm Đăng Khoa: https://trungtamdangkhoa.edu.vn/ |
Tại Việt Nam, TS. Bùi Việt Hà đang nghiên cứu việc ứng dụng và mở rộng lý thuyết tập hợp trong tin học, đặc biệt theo hướng lý thuyết kiểu (type theory). Hướng nghiên cứu này hiện cũng được một số nhà khoa học châu Âu và nhóm tại Đại học Princeton quan tâm, nhằm tái biểu diễn nền tảng của lý thuyết tập hợp bằng ngôn ngữ khoa học máy tính hiện đại. Một phần kết quả mở rộng này đã được TS. Bùi Việt Hà trình bày tại hội thảo toán học tổ chức ở Đà Lạt năm 2022.
